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数学思想方法在中学教学中的应用


新闻来源:中学学科网  发表时间:2009/7/8 8:50:52  作者:

摘 要:科学的数学思想方法是培养学生数学素养的重要途径,掌握教学思想方法并应用于教学过程中,能提高教学效果。

关键词:中学数学;数学思想方法;应用

全日制普通高级中学数学教学大纲中规定:“高中数学的基础知识主要是高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。”义务教育数学新大纲指出:“初中数学的基础知识主要是代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”把数学知识中的数学思想和方法纳入基础知识范畴,这充分体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识。这不仅是加强数学素养培养的一项举措,也是数学基础教育现代化进程的必然要求。因此,探讨数学思想方法教学的一系列问题,已成为数学现代教育研究中的一项重要课题。

一、明确数学思想方法教学的心理学意义

从心理发展规律看,进行数学思想方法教学是发展青少年思维的重要途径。初中学生的思维是以形式思维为主向辩证思维过渡,高中学生的思维则是辩证思维的形成阶段。而所谓思想方法,就是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果,它是从大量的思维活动中获得的产物,经过反复提炼和实践,一再被证明为正确的,可以反复被应用到新的思维活动中,并产生出新的结果。或者说思想方法就是那些颠扑不破、屡试不爽的思维产物。所谓数学思想方法,就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论(概念、定理、公式、法则等) 的本质认识。从学习的认知结构理论来看,进行数学思想方法教学对数学认识结构发展起着重要作用。学习的认识结构理论告诉我们,数学学习过程是一个数学认知结构的发展变化过程,在数学认知结构中,存在数学基础知识、数学思想方法、心理成分三种主要因素。这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的。所谓同化,就是主体把新的数学学习内容纳入到自身原有的认知结构中去,这种纳入不是机械的囫囵吞枣式地摄入,而是把新的数学材料进行加工改造,使之与原数学学习认知结构相适应。所谓顺应,是指主体原有的数学认识结构不能有效地同化新的学习材料时,主体调整或改造原来的数学认知结构去适应新的学习材料。在同化中,数学基础知识显然不具备思维特点和能动性,不能指导加工过程的进行,就像材料本身不能自己变成产品一个道理。而心理成分只给主体提供愿望和动机,提供主体认知特点,仅凭它也不能实现加工过程,也就像人们只有生产愿望和生产工具而没有生产产品的设计思想和技术照样生产不出产品一样。因而数学思想方法担当起指导“加工”的重担,它不仅提供思维策略,而且还提供实施目标的具体手段。实际上数学中的转化、化归就是实现新旧知识的同化。与同化一样,顺应也必须在数学思想方法的指导下进行,离开了数学思想方法的顺应是不可理解的,也是不可能实现的。加强数学思想方法教学,使学习者极大地提高学习质量和数学能力,使其受益终生。如果学生认知结构中具有较高抽象、概括的观念,则对于新学习是有利的,只有概括的、巩固和清晰的知识才能实现迁移。学生学习了数学思想方法就有利于学习迁移,特别是原理和态度的迁移,从而可以极大地提高学习质量和数学能力。

二、中学数学思想方法的主要内容

中学数学中的基本数学思想如下。两大“基石”思想:符号化与变元表示思想(换元思想、方程思想、参数思想) 与集合思想(分类思想、交集思想、补集思想) 。两大“支柱”思想:对应思想(函数思想、变换思想、递归思想、数形结合思想) 与公理化与结构思想(公理化思想、结构思想、极限思想) 。两大“主梁”思想:系统与统计思想(整体思想、分解组合思想、运动变化思想、最优化思想;随机思想、统计调查思想、假设检验思想、量化思想) 与化归与辩证思想(纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归思想, 对立统一、互变、一分为二思想) 。中学数学中的基本数学方法如下。五种科学认识方法:观察与实验,比较与分类,归纳与类比,想象、直觉与顿悟。四种推理方法:综合法与分析法,完全归纳法与数学归纳法,演绎法,反证法与同一法。三种求解方法:数学模型法,关系映射反演方法,构造法。

三、提高数学思想方法教学的意识性

对数学思想方法教学缺乏意识性是一个较普遍的问题。主要表现在:制定教学目的时,对具体知识、技能训练的教学要求比较明确,而忽视数学思想方法的教学要求;教学时,往往注重知识的结论,而削弱知识形成过程中思想方法的训练;知识应用时,又偏重于就题论题,忽视数学思想方法的揭示与提炼;小结复习时,只注意知识的系统整理,忽视思想方法的归纳提高等等,致使数学教学停留在较低的层次上。在确定教学目的、实施教学过程、落实教学效果中,有意识地体现数学思想方法。教师要进行并加强数学思想方法的教学,首先要有意识地从教学目的的确定、教学过程的实施,教学效果的落实等各个方面来体现,使每节课的教学目的和教育目的获得和谐的统一,因而在备课时就必须把数学思想方法的教学从钻研教材中加以挖掘。在掌握重点、突破难点中,有意识地运用数学思想方法。数学教学中的重点,往往就是需要有意识地运用或揭示数学思想方法之处。数学教学中的难点,往往与数学思想方法的更新交替、综合运用、跳跃性较大有关。因此,掌握重点,突破难点,教师更要有意识地运用数学思想方法组织教学。在小结、复习中,有意识地画龙点睛,适度点拨。在课堂小结、单元复习时,适时地对某种数学思想方法进行揭示概括和强化,对它的名称、内容、规律、运用等有意识地点拨,不仅可以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律,而且可使学生逐步体会数学思想方法的精神实质。

四、探索数学思想方法教学的原则

进行数学思想方法的教学必须在实践中探索规律,以构成数学思想方法教学的指导原则。揭示渗透与浅显结合。数学教学内容是由教材中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、例题等(或称表层知识) 以及由其内容所反映出的数学思想和方法(或称深层知识) 组成的。教材中,除个别思想方法外,大量的、较高层次的思想方法是蕴含于表层知识之中,处于潜形态。作为教师,应该将深层知识揭示出来,将这些深层知识由潜形态转变为显形态,由对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握。这样才能根据学生实际,采取适当措施去体现思想方法的教学。反复系统与螺旋推进结合。数学思想方法属于逻辑思维的范畴,学生对它的领会和掌握具有一个“从个别到一般,从具体到抽象,从感性到理性,从低级到高级”的认识过程。在教学中,学生对某一思想方法首先是产生感性的认识,再经过多次反复,在比较丰富的感性认识的基础上,逐渐概括上升成理性认识,最后在应用中,对形成的数学思想方法进行验证和发展,进一步加深理性认识。因而只有反复渗透,才能螺旋上升。

五、把握数学思想方法教学的有效途径

在进行数学思想方法教学的各种途径探讨中,表层知识的发生过程实际上也是思想方法的发生过程。像概念的形成过程、结论的推导过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程、解法的思考过程等都蕴藏着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会。如下的几条重要途径是值得我们把握的。展开概念。概念是思维的细胞,是感性认识飞跃到理性认识的结果。而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工,需依据数学思想方法的指导。因而概念教学应当完整地体现这一过程,引导学生揭示隐藏于概念之中的思维内核。延迟判断。不要过早地下结论判断可视为压缩了的知识链,数学定理、性质、法则、公式、规律等都是一个个具体的判断。教学中要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程,并弄清每个结论的因果关系,最后再引导学生归纳得出结论。激活推理。不要呆板地找关联,激活推理就是要使已有判断上下贯通,前后迁移,左右逢源,尽可能从已有判断发生众多的思维触角,促进思维链条的高效运转,不断在数学思想方法指导下推出一个个新的判断、新的思维结果。及时小结复习,揭示、提炼概括数学思想方法。由于同一内容可蕴含几种不同的数学思想方法,而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的表层知识之中,及时小结、复习以进行强化刺激,让学生在脑海中留下深刻的印象,这样有意识、有目的地结合数学表层知识,揭示、提炼概括数学思想方法,既可避免单纯追求数学思想方法教学欲速则不达的问题,又能促使学生实现认识从感性到理性的飞跃。抓好运用,不断巩固和深化数学思想方法。在抓住学习重点、突破学习难点及解决具体数学问题中,数学思想方法是处理这些问题的精灵,这些问题的解决过程,无一不是数学思想方法反复运用的过程。数学思想方法也只有在反复运用中,得到巩固与深化。

六、中学数学中的主要思想方法的简单应用

中学数学中的主要思想:函数与方程思想,数形结合思想,分类讨论思想,化归与转化思想。

(一)函数与方程思想:就是用函数的观点、方法研究问题,将非函数问题转化为函数问题,通过对函数的研究,使问题得以解决。通常是这样进行的:将问题转化为函数问题,建立函数关系,研究这个函数,得出相应的结论。中学数学中,方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想得以简解;几何量的变化问题也可以通过对函数值域的考察加以解决。

(二)数形结合思想:数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的。就是方程、函数、不等式及表达式,代数中的一切内容;就是图形、图象、曲线等。数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质,几何图形的性质反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系,以直观地表达数,以精确地研究形。华罗庚曾说:数缺形时少直觉,形缺数时难入微。通过深入的观察、联想,由形思数,由数想形,利用图形的直观诱发直觉。

(三)分类讨论思想:就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,分类是以比较为基础的,它能揭示数学对象之间的内在规律,有助于学生总结归纳数学知识,使所学知识条理化。数学中的分类有现象分类和本质分类两种,前一种分类是以分类对象的外部特征、外部关系为根据的,如复数分为实数与虚数等,这种分法看上去一目了然,但不能揭示所分对象之间的本质联系;后一种分类是按对象的本质特征、内部联系进行分类的,如函数按单调性或有界性分类,多面体按柱、锥、台分类等。

引起分类讨论的主要原因有:

1.由数学概念引起的分类讨论;

2.由数学定理、性质、公式的限制条件引起的分类讨论;

3.由数学式子的变形所需要的限制条件引起的分类讨论;

4.由图形的位置和大小的不确定性而引起的分类讨论;

5.对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的分类讨论。

(四)化归与转化思想:在教学研究中,使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中,就是将原问题进行变形,使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题,就这一点来说,解题过程就是不断转化的过程。

化归与转化的一般原则是:

1.化归目标简单化原则;

2.和谐统一性原则(化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐,在量、形、关系方面趋于统一的方向进行,使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。);

3.具体化原则;

4.标准形式化原则(将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。标准形式是指已经建立起来的数学模式。

5.低层次化原则(解决数学问题时,应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题,高次数的问题化归成低次数的问题,多元问题化归为少元问题解决。这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单)。

高中数学涉及最多的是转化思想,如超越方程代数化、三维空间平面化、复数问题实数化等,为了实现转化,相应地产生了许多的数学方法,如消元法、换元法、图象法、待定系数法、配方法等。通过这些数学方法的使用,使学生充分领略数学思想在数学领域里的地位与作用。

【参考文献】

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